分数应用题(分数应用题转换单位“1”五法)

分数应用题

一、“倒数法”转换单位1例题1
    新东门小学六年级开展捐款活动,共收到各班的捐款950元,其中六(1)班捐款金额是六(2)班的5/6,六(2)班捐款金额是六(3)班的3/4,求三个班各捐款多少元。
       此题有多种解法,也可以用几种法转换单位1。现在仅以“倒数法”转换单位1为例,用分数方法解答。
    用对应的数量和,除以对应的分率和,求出单位1的对应数量,然后,再求出各班级的捐款金额。这是解答此题的基本思路。
    现在的问题在于,5/6的分率的单位1是六(2)班捐款金额,3/4的分率的单位1 是六(3)班的捐款金额,二者单位1不同,这样三个班的分率不能直接相加。因此,必须通过转换单位1,使这三个班的分率为同一个单位1。
   题中,与“六(2)班”有关的分率出现两次,如同左右手各拉一人,就以六(2)班的捐款金额为单位1的量。
   由六(2)班是六(3)班的3/4可知,六(3)应是六(2)的4/3。班级倒过来,分率也就随之倒过来,从而,达到让六(2)班作单位1的目的。这就是“倒数法”转换单位1。现在题中的分率都是以六(2)班为单位1了。其数量关系见下图:
根据“对应的数量和÷对应的分率和=单位1的对应数量”的规律,就可求出六(2)班的捐款金额:
950 ÷(1+5/6+4/3)
=300元
六(1)班的捐款金额为:300×5/6=250元
六(3)班的捐款金额为:300×4/3=400元
二、用分数乘法转换单位1
依据分数乘法的意义转换单位1。
   例如,开心农场大白菜的种植面积占农场总面积的2/5,萝卜种植面积是大白菜种植面积的2/3,涂色后看,萝卜的种植面积占农场总面积的几分之几。
   从上图的涂色看,萝卜占农场总面积的4/15。
   因为,萝卜占农场总面积的2/5的2/3。由分数乘法的意义可知萝卜占总面积的几分之几:2/5×2/3=4/15。
    这样,萝卜分率的单位1就由大白菜面积转换成农场的总面积了。
   这就是运用“求一个数的几分之几是多少”,转换单位1的。
例题2
    梨园养殖场里,鸡占养殖总数的1/4,鹅是鸡的只数的1/5,鸭的只数比鹅多25%,已知鸭的只数比鸡少3750只。鸡、鹅、鸭各养了多少只?
   题目的特点很明显,如果用算术法解答,抓住鸭与鸡的数量差与分率差,求出单位1的对应数量,再求其他所要求的量。
    现在的问题是,鸭与鸡的分率不是同一个单位1,不能直接求出它们的分率差,所以必须转换分率,达到统一单位1的目的。
     以养殖总数为单位1,依据分数乘法的意义,鹅占养殖总数的1/4×1/5=1/20,
  鸭占养殖总数的1/20×(1+25%)=1/16。鸡、鹅、鸭的分率如下图:
   这样,鸡与鸭就统一单位1了,都是以养殖总数为单位1的,用鸡与鸭的数量差与分率差相除,就能求出养殖总数 了:
3750÷(1/4-1/16)=20000只。
鸡的只数: 
20000 × 1/4=5000只
鹅的只数:
 20000 × 1/20=1000只
鸭的只数:
 20000 × 1/16=1250只
练一练
      一个农场有耕地若干公亩,用若干台拖拉机犁地,第一台犁了全部耕地的1/10,第二台犁了剩下的耕地的1/10又50公亩,第三台犁了前两台犁剩下的耕地的1/10又100公亩,……这样,最后一台正好把剩下的耕地犁完,每台拖拉机犁地的公亩数相等,求这个农场共有耕地多少公亩?
   求出第二台拖拉机犁了第一台犁剩的1-1/10=9/10的1/10,相当于这片耕地的几分之几:
(1-1/10)×1/10=9/100,
  可见,第二台拖拉机犁了这片耕地的9/100又50公亩,且与第一台犁得同样多,也是这片耕地的1/10。因此这个农场耕地的公亩数为:
50÷(1/10-9/100)=5000公亩
三、用份数法转换单位1
 将比较量(分子)与单位1的量(分母)的数值都当作份数,就可算出分子或分母占它们和的几分之几,那它们的和就成了这个分数的单位1,以此达到转换单位1 的目的。
    譬如,A是B的2/7,即A为2份数,B为7份数,由此这个分数可转换成A是A与B的和的2/9,或B是A与B的和的7/9。
  例题2 
    乌江泥厂有甲、乙、丙、丁四个车间,甲车间人数是其他三个车间的1/4,乙车间人数是其他三个车间的4/11,丙车间人数是其他三个车间的1/2,已知丁车间有60人,该厂有职工多少人?
    此题的基本思路应该是,找出丁车间占全厂职工人数的几分之几,就可根据对应数量与对应分率的关系,求出全厂职工人数。
    甲、乙、丙三车间人数分率的单位1各不相同,难以求出丁车间人数占职工总数的几分之几。
   因此,我们可以用全厂职工总数为单位1,用份数法,分别求出甲、乙、丙三车间人数各占全厂职工总数的几分之几,然后,再求出丁车间人数占全厂职工总数的几分之几。
   三个车间的分率转换如下:
甲车间人数是全厂职工的1÷(1+4)=1/5,
乙车间人数占全厂职工的4÷(4+11)=4/15
丙车间人数占全厂职工的
1 ÷ (1+2)=1/3.
   现在,本题的数量关系已简化成下图:
  看图可知,60人的对应分率为1-1/5-4/15-1/3。
所以,全厂职工总数为:
60 ÷(1-1/5-4/15-1/3)=300人
四、用“比例”转换单位1
一些较复杂的分数应用题,有时不直接说甲数是乙数的几分之几,而是说甲数的几分之几等于乙数的几分之几。我们可视之为反比例式,只要将它改变为正比例式,就能简化为甲数是乙数的几分之几了,从而达到转换单位1的目的。
  例题
   甲、乙两仓库共存粮600吨,现从甲库运出60%的粮食,从乙库运出5/7的粮食。这时,甲、乙两库余下的粮食恰好一样多,原来甲乙两库各存粮多少吨?
   这时,甲库剩下原来的1-60%=2/5,乙库剩下原来的1-5/7=2/7,既然两库存粮相等,也就是甲库原有粮食的2/5等于乙库原有粮食的2/7,用算式表达就是:甲×2/5=乙×2/7,将此反比例式改成正比例式:甲:乙=2/7:2/5,甲:乙=5:7,即原来甲库存粮是乙库的5/7。至此,本题的数量关系如下图:
原来乙库存粮为:600÷(1+5/7)=350吨,
原来甲库存粮是:350×5/7= 250吨。
练一练
  甲、乙两堆棋子数相等,已知甲堆白子数是乙堆黑子数的1/5,乙堆白子数是甲堆黑子数的1/8,甲堆黑子是乙堆黑子数的几分之几?
提示:
   根据题意,画出线段图,如下:
  看图可知:甲堆黑子数的7/8=乙堆黑子数的4/5,将这个数量关系列成算式,甲黑×7/8=乙黑×4/5,再将这个反比例式改写成正比例式:
甲黑:乙黑=4/5:7/8,
甲黑:乙黑=32:35,
即甲堆黑子数是乙堆黑子数的32/35。
五、对带数量的分率转换单位1
 在分数应用题中,将数量的分率说小了,分率后面必然带增加的数量;而分率说大了,分率后面就必然带减少的数量。这就是分率带数量。
      如果另一个分率需要与这个带数量的分率统一单位1,那就得考虑对这个带数量的分率的分率与数量同时转换。诸如,第一天修了这条路的1/4多100米,第二天修了第一天的4/5,那么第二天修了这条路的几分之几呢?
    如果我们将第一天修的分率与数量用字母N与p表示,那么第二天修的就是(M+p)×4/5=4/5M+4/5p。即1/4×4/5+100×4/5=1/5+80米。可见,第二天修了这条路的1/5多80米。这就是对带数量的分率转换单位1的方法。
  例题5
   一个运粮队,第一周从粮库运出1/3又18吨,第二周从该粮库运出的粮食是第一周运出的2/3, 还剩50吨未运出,求这个粮库原来存粮多少吨?
       本题应求出第二周运出粮库原来存粮吨数的几分之几:
1/3×2/3=2/9  
18×2/3=12吨
    也就是说,第二天运出粮库原来存粮数量的2/9还多12吨。
   于是,这两天运出的粮食数量的分率都是以原来存粮总量为单位1了。可画图表示现在的数量关系:
   现在只要找出对应数量与对应分率,就能求出粮库原来存粮的吨数了:
(18+12+50)÷(1-1/3-2/9)=180吨 
练一练
    绿化队计划在高速公路两旁植树,第一周植树100棵,第二周完成剩余任务的1/5多60棵,这时已栽的棵数是未栽的60%,绿化队计划植树多少棵?
提示
     以计划植树的棵数为单位1。将完成剩余任务的1/5,转换成占计划植树棵树的几分之几:     
 1×1/5=1/5
 100×1/5=20棵.
 也就是剩余任务的1/5比计划植树棵数的1/5少20棵。只要给剩下的“1/5”这个分率补充20棵,那它就是计划植树棵数的1/5了。
 再求出第一周和第二周共完成植树棵数的几分之几:60÷(60+100)=3/8.
 现将简化后的数量关系,画出线段图。
(100+60-20)÷(3/8-1/5)=800m
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